今回は、公務員試験の数的推理における解法テクニックの紹介。

数的推理は教養試験の中にある科目の1つですが、最も問題数が多い科目です。

毎年様々なタイプの問題が出題されますが、その中の1つに「魔方陣」という問題があります。

魔方陣の問題は、地方上級、地方初級、特別区、市役所、消防官など様々な試験でこれまでに出題されています。

この記事では、その魔方陣の問題を正攻法で解くよりも、数倍速く解くことができる解法テクニックを紹介。

【この記事を書いた人】
政令市の消防士、政令市・町役場の行政職員を経験
公務員試験は独学・予備校両方で合格を経験
YouTube ⇒「3回公務員」

目次

  1. 魔方陣とは
  2. 魔方陣の例題
    • 解法テクニックなしの解答
    • 解法テクニックありの解答
  3. 3×3の魔方陣
  4. 4×4の魔方陣
  5. 5×5の魔方陣
  6. まとめ

1.魔方陣とは

数字を縦・横に同数並べ、その縦・横・斜めの行の和がいずれも等しくなるようにしたもの。(出典:国語辞典オンライン

このように、正方形のマスにそれぞれ1から数字が入っており、縦列・横列・斜列どれを足してもすべて同じ数になるというものです。

この魔方陣を見ると

  • 横:6+7+2=15
  • 縦:6+1+8=15
  • 斜:6+5+4=15

全て15になっていますね。

2.魔方陣の例題

公務員試験ではどのように魔方陣の問題が出題されるか、例題を見ていきましょう。

下の図は、1~16までの異なる数を、縦、横、対角線の和がいずれも等しくなるようにマス目に入れた一部を示したものである。A、Bにそれぞれ当てはまる整数の和として、正しいのはどれか。

選択肢】
①17
②18
③19
④20
⑤21

解法テクニックなしの解答

まず、全体の和を求め、そのあとに1列(行)の和を出します。
1~16までの数字が入るので、等差数列の和で求めると、16×(1+16)÷2=136。
よって全体の和は136。
4列(行)あるので各列(各行)ごとの和は136÷4=34となります。
これを基に、各列(各行)の和が34となるよう考えていきます。

次に一番下の段について考えます。
一番左下のマスをXとします。
X+2+3+B=34。X+B=29。XとBを満たす組み合わせは(13、16)、(16、13)の2通りしかありません。
これを場合分けしていきます。

X=13、B=16の場合

Xの上のマスをYとして、一番左の列について考えます。
4+A+Y+13=34 A+Y=17。
まだ出ていない数字でA+Y=17を満たす組み合わせは(A、Y)=(5、12)、(6、11)、(11、6)、(12、5)の4通り。
さらに場合分けします。

A=5、Y=12の場合

Aを5とした場合、A行の残りのマスは(10、11)、(11、10)の2通りですが、いずれで考えても、計算を進めていくと数字が重複してしまいます。
よって×

A=6、Y=11の場合

Yを11とした場合、Y行の残りのマスを満たす組み合わせはありません。
よって×

A=11、Y=6の場合

Yを6とした場合、Y行の残りのマスは(9、12)、(12、9)の2通りですが、いずれで考えても、計算を進めていくと数字の重複や合計が34を超えてしまいます。
よって×

A=12、Y=5の場合

Aを12とした場合、A行の残りのマスを満たす組み合わせはありません。
よって×

X=16、B=13の場合

また一番左の列について考えます。4+A+Y+16=34 A+Y=14。まだ出ていない数字でA+Y=14を満たす組み合わせは(A、Y)=(9、5)、(5、9)の2通り。

A=9、Y=5の場合

Yを5とした場合、Y行の残りのマスは(10、12)、(12、10)の2通りですが、いずれで考えても、計算を進めていくと数字が重複してしまいます。
よって×

A=5、Y=9の場合

Aを5とした場合、A行の残りのマスは(10、11)、(11、10)の2通りです。
Aの右隣を11とすれば、全ての数字が重複せず魔方陣が完成します。
よって〇

答え:A=5、B=13となるので2の18が正解です。

これが、数的推理で魔方陣を普通に考えて解く方法です。

解法テクニックありの解答

先ほどの問題を、解法テクニックを紹介する前に、解法テクニックを使って解答をしてみます。

まず、4×4の魔方陣のマジックナンバーは34。
対角にある2と15の合計が17であることを確認。
よって、Bは13であることが推測できます。
下段は2、3、13と分かっているため、左下は16。
また、左下のマス群は2、7、16が分かっているため、16の上のマスは9だと分かります。
するとAも5ということが判明。
以上。

答え:A=5、B=13となるので2の18が正解です。

めちゃくちゃ速いですよね。

順に解法テクニックを紹介するので、その後もう一度例題を確認してみてください。

3.3×3の魔方陣

まずは3×3の魔方陣(1~9)について解法テクニックをお伝えします。

マジックナンバー15・センター5

魔方陣の縦の和、横の和、斜めの和は常に同じ数字です。

これをM(マジックナンバー)とします。

3×3魔方陣のマジックナンバーは常に15です。

  • 縦:6+1+8=15
  • 横:8+3+4=15
  • 斜:2+5+8=15

そして、3×3魔方陣のセンターは必ず5になります。

5以外はあり得ないので、センターが5となっていない選択肢は即切り捨てます。

3×3の魔方陣は1パターンしかない

作ることができる3×3魔方陣は、対称形を除けば上の並び1パターンのみです。

4→9→2→3→5→7→8→1→6の順になっています。

こちらは、数字の位置が上の魔方陣と違いますが、対称形なので数字の順番は上の魔方陣と同じです。

パターンは1つだけですので、必ず覚えておきましょう。

ゴロで覚える

この一つのパターンはゴロで覚えることができます。

  • 4→9→2→3→5→7→8→1→6
  • よくにいさんこんなはひろったね

「よく兄さん、こんな葉拾ったね」と覚えることができます。

4.4×4の魔方陣

4×4魔方陣(1~16)について解法テクニックをお伝えします。

マジックナンバーは34

4×4魔方陣も、縦の和、横の和、斜めの和は常に同じ数字です。

それぞれのマジックナンバーは必ず34です。

  • 縦:8+10+11+5=34
  • 横:13+8+12+1=34
  • 斜:1+6+11+16=34

他にマジックナンバーが出現する場所がある

4×4魔方陣では、縦、横、斜め以外にもマジックナンバー34が出現します。

タイプ1

左上、右上、左下、右下それぞれ4つの数字を合計すると、必ず34になります。

M=A=B=C=D=34

タイプ2

中央の4つ、角の4つ、角を除く反対側4つ、それぞれ4つの数字を足すと必ず34になります。

M=A=B=C=D=34

点対称の2数の和が17になることが多い

点対称に位置する2つの数字の和が、マジックナンバー34の半分である17になることが多いです。

これは絶対原則ではないですが、そうなる場合が多いです。

M/2=A=B=C=17

5.5×5の魔方陣

5×5の魔方陣(1~25)についての解法はマジックナンバーのみお伝えします。

他にも5×5魔方陣の解法はありますが、やや複雑なので割愛します。

マジックナンバーは65

5×5魔方陣の縦の和、横の和、斜めの和も常に同じ数字です。

5×5魔方陣のマジックナンバーは必ず65になります。

ちなみに中心の数は13になることが多いです。

たまに17。

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6.まとめ

いかかでしたか?

この魔方陣の解法テクニックを見た後に、もう一度先ほどの「♦解法テクニックありの解答」を見てみてください。

意味が分かるはず。

このテクニックを知っているだけで、魔方陣の解答スピードはかなり上がると思います。

次、数的推理で魔方陣の問題を見かけたら是非試してみてください。

ちなみにこの解法テクニックは、数学のスペシャリストである永野龍彦さんの授業で教えていただきました。

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